九年级数学竞赛试题

文/欧卡

从今天起,我们要学会坚持!因为有了坚持,我们才会朝着目标坚定地前行;因为有了坚持,我们才会努力寻求解决困难的办法;因为有了坚持,我们才有可能把梦想变为现实。你是否有想过自己可以参加数学竞赛并且拿奖。下面就是小编为大家梳理归纳的内容,希望能够帮助到大家。

九年级数学竞赛试题

基础题

1.(2013年北京)在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出1个小球,其标号大于2的概率为(  )

A.15 B.25 C.35 D.45

2.(2013年上海)将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上,字面朝下随意放在桌子上,任取1张,那么取到字母e的概率为____________.

3.(2013年湖北宜昌)2012~2013NBA整个常规赛季中,科比罚球投篮的命中率大约是83.3%,下列说法错误的是(  )

A.科比罚球投篮2次,一定全部命中 B.科比罚球投篮2次,不一定全部命中

C.科比罚球投篮1次,命中的可能性较大 D.科比罚球投篮1次,不命中的可能性较小

4.(2013年福建福州)袋中有红球4个,白球若干个,它们只有颜色上的区别.从袋中随机地取出1个球,如果取到白球的可能性较大,那么袋中白球的个数可能是(  )

A.3个 B.不足3个 C.4个 D.5个或5个以上

5.(2013年海南益阳)有三张大小、形状及背面完全相同的卡片,卡片正面分别画有正三角形、正方形、圆,从这三张卡片中任意抽取一张,卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是________.

6.在一个不透明的盒子中,共有“一白三黑”四个围棋子,它们除了颜色之外没有其他区别.

(1)随机地从盒中提出一子,则提出白子的概率是多少?

(2)随机地从盒中提出一子,不放回再提第二子.请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果,并求恰好提出“一黑一白”子的概率.

B级 中等题

7.(2013年重庆)从3,0,-1,-2,-3这五个数中,随机抽取一个数,作为函数y=(5-m2)x和关于x的方程(m+1)x2+mx+1=0中m的值,恰好使所得函数的图象经过第一、三象限,且方程有实数根的概率为________.

8.(2013年湖北襄阳)襄阳市辖区内旅游景点较多,李老师和刚初中毕业的儿子准备到古隆中、水镜庄、黄家湾三个景点去游玩.如果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩的第一站(每个景点被选为第一站的可能性相同),那么他们都选择古隆中为第一站的概率是________.

9.在一个口袋中有4个完全相同的小球,把它们分别标上1,2,3,4.小明先随机地摸出1个小球,小强再随机的摸出1个小球.记小明摸出球的标号为x,小强摸出的球标号为y.小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则:当x>y时,小明获胜,否则小强获胜.

(1)若小明摸出的球不放回,求小明获胜的概率;

(2)若小明摸出的球放回后小强再随机摸球,问他们制定的游戏规则公平吗?请说明理由.

10.(2012年江西)如图7?2?3,大小、质地相同,仅颜色不同的两双拖鞋(分左、右脚)共四只,放置在地板上[可表示为(A1,A2),(B1,B2)].

(1)若先将两只左脚拖鞋中取出一只,再从两只右脚拖鞋中随机取出一只,求恰好匹配成相同颜色的一双拖鞋的概率;

(2)若从这四只拖鞋中随机地取出两

11.(2013年江西)甲、乙、丙3人聚会,每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物(里面的东西只有颜色不同),将3件礼物放在一起,每人从中随机抽取一件.

(1)下列事件是必然事件的是(  )

A.乙抽到一件礼物 B.乙恰好抽到自己带来的礼物

C.乙没有抽到自己带来的礼物 D.只有乙抽到自己带来的礼物

证明题

例1.已知:△ABC中,∠B=2∠C,AD是高

求证:DC=AB+BD

分析一:用分解法,把DC分成两部分,分别证与AB,BD相等。

可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE,再证EC=AE。

∵∠AEB=∠B=2∠C且∠AEB=∠C+∠EAC,∴∠EAC=∠C

辅助线是在DC上取DE=DB,连结AE。

分析二:用合成法,把AB,BD合成一线段,证它与DC相等。

仍然以高AD为轴,作出DC的对称线段DF。

为便于证明,辅助线用延长DB到F,使BF=AB,连结AF,则可得

∠ABD=2∠F=2∠C。

例2.已知:△ABC中,两条高AD和BE相交于H,两条边BC和AC的中垂线相交于O,垂足是M,N

求证:AH=2MO, BH=2NO

证明一:(加倍法――作出OM,ON的2倍)

连结并延长CO到G使OG=CO连结AG,BG

则BG∥OM,BG=2MO,AG∥ON,AG=2NO

∴四边形AGBH是平行四边形,

∴AH=BG=2MO,BH=AG=2NO

证明二:(折半法――作出AH,BH的一半)

分别取AH,BH的中点F,G连结FG,MN

则FG=MN= AB,FG∥MN∥AB

九年级数学竞赛试题

1.设a,b,c为实数,且|a|+a=0,|ab|=ab,|c|-c=0,求代数式|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|的值.

2.若m<0,n>0,|m|<|n|,且|x+m|+|x-n|=m+n,求x的取值范围.

3.设(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,试求a0+a2+a4+a6的值.

4.解方程2|x+1|+|x-3|=6.

5.解不等式||x+3|-|x-1||>2.

6.求x4-2x3+x2+2x-1除以x2+x+1的商式和余式.

7.设有一张8行、8列的方格纸,随便把其中32个方格涂上黑色,剩下的32个方格涂上白色.下面对涂了色的方格纸施行“操作”,每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色.问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸?

8.如果正整数p和p+2都是大于3的素数,求证:6|(p+1).

9.房间里凳子和椅子若干个,每个凳子有3条腿,每把椅子有4条腿,当它们全被人坐上后,共有43条腿(包括每个人的两条腿),问房间里有几个人?

答案:

1.因为|a|=-a,所以a≤0,又因为|ab|=ab,所以b≤0,因为|c|=c,所以c≥0.所以a+b≤0,c-b≥0,a-c≤0.所以

原式=-b+(a+b)-(c-b)-(a-c)=b.

2.因为m<0,n>0,所以|m|=-m,|n|=n.所以|m|<|n|可变为m+n>0.当x+m≥0时,|x+m|=x+m;当x-n≤0时,|x-n|=n-x.故当-m≤x≤n时,

|x+m|+|x-n|=x+m-x+n=m+n.

3.分别令x=1,x=-1,代入已知等式中,得

a0+a2+a4+a6=-8128.

4.略

5.略

6.商式为x2-3x+3,余式为2x-4

7.答案是否定的.设横行或竖列上包含k个黑色方格及8-k个白色方格,其中0≤k≤8.当改变方格的颜色时,得到8-k个黑色方格及k个白色方格.因此,操作一次后,黑色方格的数目“增加了”(8-k)-k=8-2k个,即增加了一个偶数.于是无论如何操作,方格纸上黑色方格数目的奇偶性不变.所以,从原有的32个黑色方格(偶数个),经过操作,最后总是偶数个黑色方格,不会得到恰有一个黑色方格的方格纸.

8.大于3的质数p只能具有6k+1,6k+5的形式.若p=6k+1(k≥1),则p+2=3(2k+1)不是质数,所以,p=6k+5(k≥0).于是,p+1=6k+6,所以,6|(p+1).

9.设凳子有x只,椅子有y只,由题意得3x+4y+2(x+y)=43,

即5x+6y=43.

所以x=5,y=3是的非负整数解.从而房间里有8个人.

排列组合问题:

1.有五对夫妇围成一圈,使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有()

A768种B32种C24种D2的10次方中

解:

根据乘法原理,分两步:

第一步是把5对夫妻看作5个整体,进行排列有5×4×3×2×1=120种不同的排法,但是因为是围成一个首尾相接的圈,就会产生5个5个重复,因此实际排法只有120÷5=24种。

第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置,也就是说每一对夫妻均有2种排法,总共又2×2×2×2×2=32种

综合两步,就有24×32=768种。

2若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有()

A119种B36种C59种D48种

解:

5全排列5_4_3_2_1=120

有两个l所以120/2=60

原来有一种正确的所以60-1=59

九年级数学竞赛试题

一.选择题

1.﹣22=()

A.﹣2B.﹣4C.2D.4

【分析】根据幂的乘方的运算法则求解.

【解答】解:﹣22=﹣4,

故选B.

【点评】本题考查了幂的乘方,解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则.

2.太阳与地球的平均距离大约是150000000千米,数据150000000用科学记数法表示为()

A.1.5×108B.1.5×109C.0.15×109D.15×107

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.

【解答】解:将150000000用科学记数法表示为:1.5×108.

故选A.

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,若BD=2AD,则()

A.B.C.D.

【分析】根据题意得出△ADE∽△ABC,进而利用已知得出对应边的比值.

【解答】解:∵DE∥BC,

∴△ADE∽△ABC,

∵BD=2AD,

∴===,

则=,

∴A,C,D选项错误,B选项正确,

故选:B.

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质,正确得出对应边的比是解题关键.

4.|1+|+|1﹣|=()

A.1B.C.2D.2

【分析】根据绝对值的性质,可得答案.

【解答】解:原式1++﹣1=2,

故选:D.

【点评】本题考查了实数的性质,利用差的绝对值是大数减小数是解题关键.

5.设x,y,c是实数,()

A.若x=y,则x+c=y﹣cB.若x=y,则xc=yc

C.若x=y,则D.若,则2x=3y

【分析】根据等式的性质,可得答案.

【解答】解:A、两边加不同的数,故A不符合题意;

B、两边都乘以c,故B符合题意;

C、c=0时,两边都除以c无意义,故C不符合题意;

D、两边乘以不同的数,故D不符合题意;

故选:B.

【点评】本题考查了等式的性质,熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关.

6.若x+5>0,则()

A.x+1<0B.x﹣1<0C.<﹣1D.﹣2x<12

【分析】求出已知不等式的解集,再求出每个选项中不等式的解集,即得出选项.

【解答】解:∵x+5>0,

∴x>﹣5,

A、根据x+1<0得出x<﹣1,故本选项不符合题意;

B、根据x﹣1<0得出x<1,故本选项不符合题意;

C、根据<﹣1得出x<5,故本选项符合题意;

D、根据﹣2x<12得出x>﹣6,故本选项不符合题意;

故选C.

【点评】本题考查了不等式的性质,能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键.

7.某景点的参观人数逐年增加,据统计,2014年为10.8万人次,2016年为16.8万人次.设参观人次的平均年增长率为x,则()

A.10.8(1+x)=16.8B.16.8(1﹣x)=10.8

C.10.8(1+x)2=16.8D.10.8[(1+x)+(1+x)2]=16.8

【分析】设参观人次的平均年增长率为x,根据题意可得等量关系:10.8万人次×(1+增长率)2=16.8万人次,根据等量关系列出方程即可.

【解答】解:设参观人次的平均年增长率为x,由题意得:

10.8(1+x)2=16.8,

故选:C.

【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.

8.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=1.把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周,所得几何体的地面圆的周长分别记作l1,l2,侧面积分别记作S1,S2,则()

A.l1:l2=1:2,S1:S2=1:2B.l1:l2=1:4,S1:S2=1:2

C.l1:l2=1:2,S1:S2=1:4D.l1:l2=1:4,S1:S2=1:4

【分析】根据圆的周长分别计算l1,l2,再由扇形的面积公式计算S1,S2,求比值即可.

【解答】解:∵l1=2π×BC=2π,

l2=2π×AB=4π,

∴l1:l2=1:2,

∵S1=×2π×=π,

S2=×4π×=2π,

∴S1:S2=1:2,

故选A.

【点评】本题考查了圆锥的计算,主要利用了圆的周长为2πr,侧面积=lr求解是解题的关键.

9.设直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a,b,c是实数,且a<0)的图象的对称轴,()

A.若m>1,则(m﹣1)a+b>0B.若m>1,则(m﹣1)a+b<0

C.若m<1,则(m﹣1)a+b>0D.若m<1,则(m﹣1)a+b<0

【分析】根据对称轴,可得b=﹣2a,根据有理数的乘法,可得答案.

【解答】解:由对称轴,得

b=﹣2a.

(m﹣1)a+b=ma﹣a﹣2a=(m﹣3)a

当m<1时,(m﹣3)a>0,

故选:C.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系,利用对称轴得出b=﹣2a是解题关键.

10.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=12,E为AC边的中点,线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD=x,tan∠ACB=y,则()

A.x﹣y2=3B.2x﹣y2=9C.3x﹣y2=15D.4x﹣y2=21

【分析】过A作AQ⊥BC于Q,过E作EM⊥BC于M,连接DE,根据线段垂直平分线求出DE=BD=x,根据等腰三角形求出BD=DC=6,求出CM=DM=3,解直角三角形求出EM=3y,AQ=6y,在Rt△DEM中,根据勾股定理求出即可.

【解答】解:

过A作AQ⊥BC于Q,过E作EM⊥BC于M,连接DE,

∵BE的垂直平分线交BC于D,BD=x,

∴BD=DE=x,

∵AB=AC,BC=12,tan∠ACB=y,

∴==y,BQ=CQ=6,

∴AQ=6y,

∵AQ⊥BC,EM⊥BC,

∴AQ∥EM,

∵E为AC中点,

∴CM=QM=CQ=3,

∴EM=3y,

∴DM=12﹣3﹣x=9﹣x,

在Rt△EDM中,由勾股定理得:x2=(3y)2+(9﹣x)2,

即2x﹣y2=9,

故选B.

【点评】本题考查了线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质,勾股定理,解直角三角形等知识点,能正确作出辅助线是解此题的关键

抽屉原理、奇偶性问题:

1.一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、蓝、黄四种,问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的?

解:可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉,把手套看成是元素,要保证有一副同色的,就是1个抽屉里至少有2只手套,根据抽屉原理,最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理,只要再摸出2只手套,又能保证有一副手套是同色的,以此类推。

把四种颜色看做4个抽屉,要保证有3副同色的,先考虑保证有1副就要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后,4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理,只要再摸出2只手套,又能保证有1副是同色的。以此类推,要保证有3副同色的,共摸出的手套有:5+2+2=9(只)

答:最少要摸出9只手套,才能保证有3副同色的。

2.有四种颜色的积木若干,每人可任取1-2件,至少有几个人去取,才能保证有3人能取得完全一样?

答案为21

解:

每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.

当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:

当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.

3.某盒子内装50只球,其中10只是红色,10只是绿色,10只是黄色,10只是蓝色,其余是白球和黑球,为了确保取出的球中至少包含有7只同色的球,问:最少必须从袋中取出多少只球?解:需要分情况讨论,因为无法确定其中黑球与白球的个数。

当黑球或白球其中没有大于或等于7个的,那么就是:

6_4+10+1=35(个)

如果黑球或白球其中有等于7个的,那么就是:

6_5+3+1=34(个)

如果黑球或白球其中有等于8个的,那么就是:

6_5+2+1=33

如果黑球或白球其中有等于9个的,那么就是:

6_5+1+1=32

4.地上有四堆石子,石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个,然后都放入第四堆中,那么,能否经过若干次操作,使得这四堆石子的个数都相同?(如果能请说明具体操作,不能则要说明理由)

不可能。

因为总数为1+9+15+31=56

56/4=14

14是一个偶数

而原来1、9、15、31都是奇数,取出1个和放入3个也都是奇数,奇数加减若干次奇数后,结果一定还是奇数,不可能得到偶数(14个)

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