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几何通解

一卷。清梅文鼎(详见《历算全书》)撰。欧几里得《几何原本》经徐光启、利玛窦译出前六卷之后,立即引起了梅文鼎的兴趣,梅文鼎认为我国传统的勾股算术和由西洋传入的《几何原本》形式上虽不相同,但理论可以会通。在梅氏《勿庵历算书记》中他指出:“几何不言勾股,然其理并勾股也。〔此言勾股西谓直角三边形,译书时未能会通,遂分途径〕。故其最难通者以勾股释之则明。”《几何通解》就是为达“以勾股释之”而作,他依据勾股算术证明了《几何原本》卷二至卷六中的许多命题。例如卷三第三十五题论证:圆内二弦AB、CD交于E,则AE·EB=CE·ED。梅文鼎以勾股术证明如下(译成今文):过圆心O作直径MN垂直于AB,交AB于F。联OA线,OFA勾股形以OF为勾,OA为弦,FA为股,则FN=OA-OF为勾弦较(差);MF=OA+OF为勾弦和。因勾弦较与勾弦和乘积为股平方,故得MF·FN=AF·FB。又设弦CD与AB交于E。作OK垂直于CD。联OC线。因CE·ED=(CK+KE)(CK-KE)=CK2-KE2,故CK2=CE·ED+KE2,OC2=CE·ED+KE2+OK2,OC2=CE·ED+OF2+FE2,CE·ED=OA2-OF2-FE2,CE·ED=AF2-FE2,CE·ED=AE·EB。欧几里得在证此题时,用到了勾股定理,而且证明过程不比梅文鼎简单。对于黄金分割线段,梅文鼎认为:“唯理分中末线似与勾股异源,今为游心于立法之初,而仍出于勾股。信古九章之义包举无方。”这是《几何原本》卷四第十题。设有线段AB,分割于C有AC∶CB=CB∶AB或者AC·AB=CB2。梅文鼎认为:假如AC为勾股较,AB为勾弦和,CB为股,则AB分成中外比,但那个股CB必须是勾弦和AB与勾弦较AC之差等于勾的二倍。因此,他作出一勾股形,使它的勾为股的一半,那么,这个勾股形的勾弦和等于勾弦较加股,勾弦和就分成中外比。如以股为全线,则勾弦较为中外比的大分,弦和较为中外比的小分。在《几何补编》中梅文鼎还给出了理分中末比例在正多面体中的一个应用。这些说明了梅文鼎对于西学知识并非盲目全盘接受,而是有分析、有理解、认真消化、阐发应用,《几何通解》在此树立了样板。《几何通解》版本有《梅氏历算全书》本,《梅氏丛书辑要》本,在北京图书馆、浙江图书馆、中科院自然科学史研究所有藏。另有《中西算学汇通》本,现藏当代中算史家钱宝琮处。

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