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测圆海镜

十二卷。元李冶(1192-1279)撰。李冶,原名李治,字仁卿,号敬斋,真定栾城(今河北栾城县)人。李遹次子。少时于元氏(今河北元氏县)求学。金正大七年(1230)词赋进士,任钧州(今河南禹县)知事。钧州为蒙古军所破后他微服北渡,隐居于崞山桐川(今山西崞县),于1248年著《测圆海镜》十二卷。1251年回元氏封龙山隐居讲学,1261年李冶以老病辞忽必烈诏聘,1256年被召为翰林学士,一年后辞官回封龙山。著有《益古演段》三卷、《泛说》四十卷、《文集》四十卷、《壁书丛削》十二卷(后三种已失传)。《测圆海镜》十二卷共一百七十问,所讨论的问题均为已知直角三角形三边上各个线段而求其内切圆、傍切圆直径之类的问题,其章目为卷一“总率名号”、“识别杂记”六百九二条;卷二“正率”十四问;卷三“边股”十七问;卷四“底勾”十七问;卷五“大股”十八问;卷六“大勾”十八问;卷七“明”前十八问;卷八“明”后十六问;卷九“大斜”四问,“大和”八问;卷十“三事和”八问;卷十一“杂糅”十八问;卷十二“之分”十四问。李冶自序云:“余自幼喜算术,恒病夫考圆之术,例出于牵强,殊乖于自然,……老大以米,得洞渊九容之说,日夕玩绎,而响之病我者,使爆然落去,而无遗余。山中多暇,客有从余求其说者,于是乎又为衍之,遂累一百七十问”。显见该书衍“洞渊九容”之说而成。“洞渊”为何已不可考。《测圆海镜》卷一之首列“圆城图式”一张,该图分勾股形天地乾为十四个相似的勾股形,除两个相等之外,与原勾股合为十三率,并给出了各勾股形的名称。李冶于卷二之首写道:“假令有圆城一所,不知周径,四面开门,门外纵横各有十字大道,其西北十字道头定为乾地;其东北十字道头定为艮地;其东南十字道头定为巽地;其西南十字道头定为坤地;所有测望杂法,一一设问如后。”这是全书一百七十问的总图,凡建立天元式所用定理均可在此图得到几何解释。为了叙述图式中复杂的几何关系,李冶先立名号,即给出了定义,如“内率,明勾股相得”,“次差,明二差共”等等。然后列出了图中各线段之间以及各线段的和、差、乘积等等之间相互关系六百九十二条,内分:诸杂名目、五和五较、诸弦、大小差、诸差、诸率互见、四位相套等七个项目,各项目内容深浅不一,在演算过程中作用亦有差别。其中每一条都相当于一个几何定理,例如“诸杂名目”中最后十条是全书的基本公式,多数题目演算与之有关。李冶汇总这些条文列全书之首,名曰“识别杂记”,后人对此多有研究,清李锐认为:“杂记数百条,乃是全书之纲领,非此不能立算”。而当代中算史家梅荣照则认为这是“作者在研究‘洞渊九容’与演算《测圆海镜》的题目过程中,随时记录所应用的结论,后稍经整理而成的”。(《宋元数学史论文集》)不应过分夸大其作用。经后人校算证明,这六百九十二条“杂记”误谬者仅八条。在卷二第一-十题作者给出十种容圆,亦即求三角形天乾地的内切圆直径的十个公式:勾股容圆(内切于大勾股形)、勾上容圆(圆心在勾上且切于弦和股)、股上容圆(圆心在股上且切于弦和勾)、弦上容圆(圆心在弦上且切于勾和股)、勾股上容圆(圆心在勾股交点且切于弦)、勾外容圆(切于勾与弦、股的延长线)、股外容圆(切于股与弦、勾的延长线)、弦外容圆(切于弦与勾、股的延长线)、勾外容圆半(心在股的延长线且切于勾、弦的延长线)、股外容圆半(心在勾的延长线且切于股、弦的延长线)。上述十种除勾股容圆已见于《九章》,余者称“洞渊九容之术”,是为全书的基础。《测圆海镜》的主要价值,即李冶的主要目的是利用天元术来列出方程。在金元时期河北、山西一带已产生天元术,尚不完善,其表示法及天元式造法、运算尚不统一。李冶在此书中对天元术进行了总结和发展。在天元式表示法上,他取消了用地元表示负数次幂,只用一个天元,并采用“天在太上”的排列顺序(后在《益古演段》中他又将其颠倒过来)。对于天元式的加减乘除运算,李冶给出了完整的方法;在造天元式时,他灵活选择天元一所表示的数,以便简化演算过程,并采用求出半径幂的天元多项式方法,比较简便易行。李冶对自己的工作十分自信:“测圆海镜一书,虽九九小数,吾常精思致力焉,后世必有知者。”从明到清天元术几经失传,直至梅珏成悟得西洋借根方即立天元一时,天元术方又得光大。《测圆海镜》是为金元天元术的代表作流传至今,在此基础上发展到四元术构成了我国独步天下的代数学,可知该书在世界数学史上地位。明清以来,为该书释术演草作图者甚众,主要著作有:明顾应祥《测圆海镜释术》十卷(1550),《测圆算术》四卷(1553);1797年清李锐校订后刻入《知不足斋丛书》;李善兰《测圆海镜图表》一卷、《测圆海镜解》一卷;张楚钟《测圆海镜识别详解》一卷(1873);李镠《测圆海镜法笔》二卷(1879);王鉴《海镜窥豹》一卷(1894);刘岳云《测圆海镜通释》四卷(1896);王泽沛《测圆海镜细草通释》十二卷(1898);叶耀光《测圆海镜图解》二卷(1898);杨兆鋆《九容演代》一卷(1898)。当代中算史家较有影响的成果有:李俨《测圆海镜研究历程考》(载《中算史论丛》第四集);梅荣照《李冶及其数学著作》(载《宋元数学史论文集》)。《测圆海镜》主要版本有:《四库》本;1876年同文馆集珍版本;《古今算学丛书》本。

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