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益古演段

三卷。元李冶(详见《测圆海镜》)撰。这是李冶写于1259年的关于天元术的普及著作。在自序中李冶称:“近世有某者,以方圆移补成编,号《益古集》,真可与刘李相颉颃。余犹恨其闭匿而不尽发,遂再为移补条段,细翻图式,使粗知十百者,便得入室啖其文。”显见《益古演段》是在蒋周(北宋人)《益古集》基础上写成的。该书三卷共六十四题,主要论述方圆组合问题,所求多为圆径、方边、周长之类,除四题(三十八、四十四、四十八、五十六)为一次方程外,余皆为二次方程。卷上二十二问专论正方形与圆;卷中二十问从正方形推广为长方形;卷下二十二问为各种较为复杂的图形。每题之后有答,答后有解释,包括“法”(即天元术)、“依条段求之”(即按条段法给出计算方程各项系数的算式)、“条段图”(即方程的几何图解)、“义”(图的说明)。其中二十三问有“旧术”,当为蒋周《益古集》的方法。书中新旧两术并列,新术为天元术,旧术即“条段法”。所谓“条段法”,即寻求题中各量的几何意义,画出条段图,通过面积图形的割补寻求等量关系,求得方程各项系数的方法。旧术虽建立了方程,却无立天元一的步骤,因此对于较复杂的问题或建立高次方程则无能为力。李冶此书新旧两术并列,完成了条段法向天元术的过渡,向人们揭示了条段法虽直观,但复杂多变,技巧性较高,而天元术虽抽象,但具有一般性,思维过程简单。《益古演段》中的“依条段求之”,其意义不同于条段法:“条段皆于立天元一内取出”,李冶在第五十六题的这句案语说明“依条段求之”乃是从天元术中提炼出来的。《益古演段》的问题虽然包括四五部分,但其核心部分是“法”,即说明如何用天元术列方程,其主要步骤为:立天元一(设某一未知量为x,在其边上注“元”字),找等值多项式(应包含天元),逐步相消。其中第二步最为关键。在运算过程中方程各项系数若出现分数或无理数,李冶采取化分数为整数、化无理数为有理数的办法来避免筹算无法表示无理数的麻烦。值得注意的是在第四十问中,李冶用了一种“连枝同体术”,即当二次项系数不为1时,为了方便开方,设一辅助未知数,令其与原未知数与二次项系数乘积相等,这样就将新未知数方程二次项系数绝对值化为1,这是对《测圆海镜》数学理论的一个发展。另外李冶在推导方程中,通过各种等量关系减少未知数,无须用方程组。求出天元一后,其他量便可依关系求出。《益古演段》最大特点是通俗易懂,如砚坚序中所言:“说之详,非若溟滓黯黮之不可晓;析之明,非若浅近粗俗之无足观。”“颇晓十百,披而览之,如登坦途,前无滞碍。”成为一部图文并茂易于自学的教材,连同《测圆海镜》一道为后世学者之指南,并建立了用天元术研究几何问题的模式,清张敦仁《缉古算经细草》便是仿《益古演段》而作。该书缺点是李冶只考虑方程正根,未用运算符号,有些题计算粗糙,过于繁琐(如第四十三、五十六问)。《益古演段》初刊本1282年刻出;后收入《四库全书》中;清李锐校订后收入《白芙堂丛书》本;清刘铎又据李本收入《古今算学丛书》中。

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