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详解九章算法

十二卷。宋杨辉(生卒年不详)撰。杨辉字谦光,钱塘(今杭州)人。据陈几先为杨辉《日用算法》撰跋称他能“以廉饬己,以儒饰吏”可知杨辉曾当过地方官员,是当时有名的数学家。他结合自己的工作,搜集和阅读大量的数学著作,进行研究,从1261年至1275年先后编成数学书五种二十一卷,即《详解九章算法》十二卷(1261),《日用算法》二卷(1262),《乘除通变本末》三卷(1274),《田亩比类乘除捷法》二卷(1275),《续古摘奇算法》二卷(1275)。《详解九章算法》现传本为宜稼堂丛书本,已非全帙,且编排错乱。据杨辉自序可知这书乃取《九章算术》中的八十问进行详解,除《九章》九卷外,增添三卷:一卷是图,一卷讲乘除算法,一卷是纂类。现据当代中算史家严敦杰对十二卷次序排比的订正,将该书内容介绍如下:卷首,图。这些原图现已失传,据卷五少广章:“立草在《九章》卷首布置图内”,可知这是为方便演草而设计的图。卷一乘除。该卷已失传。据《算法通变本末》卷上:“《详解九章算法》第一卷有乘除,立问一十三题,专说乘除。”卷二为方田章第一,原卷已佚。卷三是粟米章第二,原卷已佚,《永乐大典》卷一六三四三算法十四异乘同除内引杨辉《详解》两题当是此卷佚文。卷四衰分章第三,原卷已佚。《永乐大典》卷一六三四三算法十四保存了这卷残存的十一题。卷五少广章第四,全卷现保存在《永乐大典》卷一六三四三算法十五之内,除《九章》二十四问之外,杨辉又补了开三乘方一题,同时还引录了贾宪的“开方作法本源”图以及该图的构造方法为“增乘方求廉法草”。卷六商功章第五,传本存十三题,缺十五题。卷七均输章第六,传本缺一题。卷八盈不足第七。卷九方程章第八,传本缺四题。卷十勾股章第九,卷末纂类。纂类即把《九章》二百四十六题按“以法问浅深,资次类章”的要求重新编排分类,其分类的项目是:乘除,分率(乘除应用题),合率(合分法应用题),互换(比例题),衰分,叠积,盈不足,方程,勾股。在每一类中,杨辉由总的算法演绎出不同的具体方法,又由具体方法推出相应的习题。例如方程类依次给出方程、损益、分子、正负四法,其中方程为干,其余三法为枝,由干生枝;又如勾股类三十八问,分为二十一种方法,其最基本形式为勾股定理,由此演出各种复杂的勾股问题解法。显然杨辉这种“因法推类”是一种演绎思想。《详解》的体例分为三项:1.解题,先把题问的道理讲清楚,交代题问的性质及内容,解释题意、名词和术语,对题目加以评论,进行文字校勘等。2.细草,包括图解和算草,图中不仅有“题图”,而且有“法图”,“以图参法,取用可知”,生动直观的插图,为学习者提供了方便。算草则先列“法曰”,后才演草。法是一般性方法,草是解答本题的演草。3.比类,即在各种解法之后给出该法所适用的若干性质相近的题目。杨辉自序说:“僭比类题以通俗务。”其应用较突出的是商功章,通过方亭、方锥、鳖臑、刍童等题比类得出各种垛积公式,形成独特的垛积术。杨辉对于算法的研究十分重视,在序言中他写道:“题有分者,随通之;母不同者,齐子并之;田不匠者,折并直之;数皆求者,互乘换之;差等除实,别而衰之;错糅为问,正负入之;勾股旁要,开方除之;节题匿积,演段取之。”杨辉称:“此算法之尽理也。”对当时的各种算法作了详尽的概括。在书中杨辉还对许多古代数学典籍广泛引证,为后世保存了许多数学史料。该书对普及《九章算术》,弘扬中算古法起到一定作用。明吴敬就是在此书影响下写出了《九章算法比类大全》的。明顾应祥《勾股算术》(1533),程大位《算法统宗》(1592)都引用了杨辉的算法。当代中算史家李俨的《宋杨辉算书考》(载《中算史论丛第二集》)、严敦杰的《宋杨辉算书考》(载《宋元数学史论文集》)对杨辉的《详解九章算术》作出了独到的考证研究。《详解》的版本有《宜稼堂丛书》本(残存本)。

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