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象数一原

六卷。清项名达(1789-1850)撰。项名达原名万准,字步来,号梅侣,仁和(今杭州)人。嘉庆二十一年(1816)举人,道光六年(1826)进士,未赴知县任,退职回乡,专事中算,著有《勾股六术》一卷(1825),后附《弧三角和较算例》,《三角和较术》一卷(1843),《开诸乘方捷术》一卷,上述三书合刻为《下学葊算术》。又著《象数一原》六卷,附《算律管新术》,戴煦遵嘱为之续成第七卷合刻刊出。《椭圆求周术》一卷,《图解》一卷为戴煦所补。项名达因董祐诚《割圆连比例图解》中所论割圆颇有疑问:“堆积既与率数合,何以有倍分无析分,倍分中弦率又何以有奇分无偶分,且弦矢线于圆中,于三角堆何与”,蓄是疑有年,直至1837年归自苕南,舟中偶念此,恍然有悟。即利用“三角垛数”,创立了“零整分递加”法,较割圆术更佳:“自来割圆术不离勾股,而得其象,未得其数,取数不无繁重,自有零整分递加后,象与数会”(自序)。此即《象数一原》由来。该书卷目为:卷一整分起度弦矢率论,卷二半分起度弦矢率论,卷三零分起度弦矢率论,卷四零分起度弦矢率论(戴煦补),卷五诸术通诠,卷六诸术明变(戴煦补加减表法),卷七椭圆求周图解(原本六卷,此卷为戴煦补之)。项氏用自己的方法求得一系列幂级数,有三角函数展开式,也有全弧的通弦展开为n分之一弧通弦的幂级数,对于后者他的结论是:全弧分为n分,不论n为奇为偶,其通弦总可以展为分弧通弦的幂级数,析分弦矢与倍分弦矢理本一贯。由此,他把董祐诚四个幂级数概括为两个,以此可推得董氏以及明安图的级数,显见项名达的表达式更具有一般性。项名达的工作对徐有壬、夏鸾翔颇有影响。《象数一原》版本有1888年上海赵氏《高斋丛刻》本,现藏浙江图书馆及中科院自然科学史研究所;《古今算学丛书》本;北京图书馆藏有1888年金匮华氏刊本与另一抄本。

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